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二階線形微分方程式の話

Math

 二階線形微分方程式の話。引用:『演習 微分積分サイエンス社、6.3節
・定数係数斉次方程式
 (1)y''+ay'+by=0
に対して、二次方程式\lambda^2+a\lambda+b=0を(1)の特性(固有)方程式といい、その根を(1)の特性(固有)根という。
特性根を\alpha, \betaとするとき、(1)の一般解は次のように与えられる。
(i)\alpha, \betaが相異なる2実根のとき、
 y=C_{1}e^{{\alpha}x}+C_{2}e^{{\beta}x}
(ii)\alpha, \betaが重根のとき、
 y=e^{{\alpha}x}(C_{1}+C_{2}x
(iii)\alpha=\lambda+i\mu, \beta=\lambda-i\muが虚根のとき、
 y=e^{{\lambda}x}(C_{1}\cos{\mu}x+C_{2}\sin{\mu}x)
こっちはそこまで大事じゃなくて、問題になったのは非斉次のほう。
・定数係数非斉次方程式
 (2)y''+ay'+by=f(x)
に対して、(2)の一般解は斉次方程式(1)の一般解と(2)の1つの解(特殊解・特解)の和として表される。(2)の特殊解を求めるときには、f(x)の形から特殊解の形を類推できることがある。
 f(x)の形----類推される特殊解の形
 a+be^{{\alpha}x}----A+Be^{{\alpha}x}
 a\cos{\alpha}x+b\sin{\alpha}x----A\cos{\alpha}x+B\sin{\alpha}x
 ae^{{\alpha}x}\sin{\beta}xまたはae^{{\alpha}x}\cos{\beta}x----e^{{\alpha}x}(A\cos{\beta}x+B\sin{\beta}x)
 polynomial ---- polynominal
これら類推した形の関数を(2)の左辺に代入して計算し、f(x)とその係数を比較して特殊解を求める。f(x)=p(x)+q(x)の形のときはp(x)q(x)それぞれを(2)の右辺に置いた非斉次方程式の特殊解の和が(2)の特殊解となる。f(x)が複雑な形をしているときは定数変化法で求めることができるらしいのだけどロンスキアンがよくわからないので今は無視……。