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巡回群の位数

Math

群(巡回群)の位数について。

群の位数:要素の個数
要素の位数:aが単位元になるまで繰り返す演算の回数

群Z/nZの位数はn。
群Z/nZの要素の位数は、(同値類の代表元を)何倍すれば0+nZになるかを表す。ただし最少の値。
たとえば群Z/6Zの要素の位数は、
 1+6Z->6(1+6Z)=0+6Z
 2+6Z->3(2+6Z)=0+6Z
 3+6Z->2(3+6Z)=0+6Z
 4+6Z->3(4+6Z)=0+6Z
 5+6Z->6(5+6Z)=0+6Z
 0+6Z->1(0+6Z)=0+6Z
より、位数1の元が1つ、位数2の元が1つ、位数3の元が2つ、位数6の元が2つ。

で、知りたいのは群(Z/6Z)(+)(Z/6Z)の位数6の元の数。
直和によって(1+6Z, 2+6Z)などの組が6*6=36個出てくる。
それぞれの組について位数は同様に、x*(1+6Z, 2+6Z)=(0+6Z,0+6Z)になるようなxとして定義される。
x*(1+6Z, 2+6Z)=(0+6Z,0+6Z)の場合はx=6。すなわち、2つの項の位数の最小公倍数である。
あとは位数の組み合わせで6にならないものを数えて36から引く感じでよい。
 36-(ともに位数2の場合+ともに位数3の場合+ともに位数1の場合+位数1と位数2or3の場合)
 =36-(1*1+2*2+1*1+3*2)
 =24
で終わり。