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微分方程式のメモ

微分方程式が解けない。C^2級の関数f(t)が
 f*f'' - (f')^2 -8(f)^2 = 0
の解であり、条件はf(0)=f(1)=1で、f(1/2)を求めるのが問題。
この形のままだと解けなさそうなので
 df/dt = v(f)
と置くと、
 f'' = dv/df * df/dt = v' * v
であるから、
 f*v*v' - v^2 - 8(f)^2 = 0
整理して、
 v' = v/f + 8f/v
同次形なのでさらに p = v/f と置くと、v = fp から
 dv/df = p + f * dp/df
代入して
 p + f * dp/df = p + 8/p
整理して
 p/8*dp = 1/f * df
変数分離形であり、積分して
 (p^2)/16 = log(f) + C1
p = v/f だったので戻すと
 v^2 = 16*f^2*log(f) + C1
 v = 4f * (log(f) + C1)^(1/2)
v = df/dtを戻して変数分離形にすると
 (f * (log(f) + C1)^1/2)^(-1) * df = 4*dt
ここで詰まった、もう少し頑張る
logf=qと置換する。
 1/f = dq/df, df/f = dq
より、書き換えると
 ( (q+C2)^1/2)^(-1) * dq = 4dt
形が悪いから積分できないのじゃ
 (q+C2)^(-1/2) * dq = 4dt
これを積分してqを戻すと
 2(log(f(t))+C2)^(1/2) = 4t + C3
さらに続けて定数を置き直すと
 f(t) = exp{(2t+A)^2 + B}
ん? なんか簡単な形だなぁ…。一応検算すると、条件式を満たしてると思う。
 f(0) = exp{A^2 + B} = 1
 f(1) = exp{(2+A)^2 + B} = 1
を解くと、A=-1, B=-1.したがって
 f(t) = exp{(2t-1)^2 -1}
以上より
 f(1/2) = exp{ (1-1)^2 - 1} = exp(-1)
やっと計算が合った。係数の扱いが下手だった。なるべく積分から遠ざけるようにしないと。

でここからが本題。やはり答えは簡単な関数だったわけだから、最初に与えられた式から答えとなる関数を導く公式のようなものがあるに違いないと思われる。今回は遠回りすることで変数分離形なり導関数置換なる手段を知ることができたから良いけど、これを5分目安で解くのはしんどい。どこかで計算ミスをしてしまうと思う。まずexpの肩に乗ってるのものを一般化してみる。
 f(t) = exp{g(t)}
これを微分する。
 f'(t) = g'(t)*exp{g(t)} = g'(t)*f(t)
 f''(t) = g''(t)*f(t) + g'(t)*f'(t)
で、g'(t) = f'(t)/f(t)を代入して、
 f''(t) = g''(t)*f(t) + (f'(t)^2)/f(t)
両辺にf(t)を掛けて左辺にまとめると、
 f(t)*f''(t) - (f'(t)^2) - g''(t)*(f(t)^2) = 0
となる。つまるところ、今まで考えてきた問題はこのタイプの式の g''(t)が定数の場合だったのだ。
f(t)は問題文で「C^2級」だと与えられているのだけど、この条件でこれの式に気付かなくてはいけないのだろうか? あるいは定数項を見て何か閃かなくてはいけないのだろうか……。
疲れたし寝よう。
うわ、読みづらい。またあとでtexの記法に直して読みやすくしておこう…。